197 stron zadań matematycznych z odpowiedziami i przykładowymi rozwiązaniami, przygotowujące do matury 2011, dzięki którym i Ty zdasz ją wzorow… prawdopodobieństwa (odmienną od P miarą probabilistyczną) na F , a. zatem przy sprawdzaniu, czy funkcja rzeczywista określona na Ω jest zm. losową, jest nieistotny rozkład prawdopodobieństwa na F. Rozkład ten. jest jednak niezbędny przy definiowaniu rozkładu zminnej losowej. 1 Rozkład prawdopodobieństwa zminnej losowej. Elementy rachunku prawdopodobieństwa Hellwig • Książka ☝ Darmowa dostawa z Allegro Smart! • Najwięcej ofert w jednym miejscu • Radość zakupów ⭐ 100% bezpieczeństwa dla każdej transakcji • Kup Teraz! Sprawdzian z rachunku prawdopodobieństwa Suma punktów: 28. Sprawdzian z rachunku prawdopodobieństwa. Zadanie 1. (1 pkt) Pan Jakub ma 4 marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę. A) 280 B) 28 C) 70 D) 21. Rachunek prawdopodobiestwa 1B. semestr letni 2016/2017. Lista zada nr 2. Dowiadczenie losowe i aksjomaty prawdopodobiestwa, prawdopodobiestwo geometryczne. Zapozna si z rozdziaem 1 z ksiki [JS] Jakubowski J., Sztencel R. Wstp do teorii prawdopodobiestwa. 1. (5p) ( [JS], 1.1 Twierdzenie 5) Udowodni wasnoci prawdopodobiestwa (W1) (W7). Bibliografia. Jakubowski, Sztencel, "Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego". Gajek, "Wnioskowanie statystyczne dla studentów". Bertsekas, Tsitsiklis, "Introduction to probability". Strona ćwiczeń i laboratorium z kursu Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki na Wydziale MIM UW. Zajęcia prowadzone przez Mikołaja Rybińskiego. rpiDE2P. Własności prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego \(A\) jest zawsze liczbą z przedziału \(\langle 0; 1 \rangle\). \[0\le P(A)\le 1\] Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe \(1\). \[P(\Omega )=1\] Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe \(0\). \[P(\emptyset )=0\] Przydatne wzory Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: \[P(A')=1-P(A)\] Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia \(A\) pod warunkiem zajścia zdarzenia \(B\) liczymy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] gdzie \(P(B)>0\) Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\] Wzór Bayesa Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\] Schemat Bernoulliego W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania \(k\) sukcesów w \(n\) próbach można obliczyć ze wzoru: \[P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] gdzie \(p\) - to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie Zadanie 1. W grze losowej losowane są kulki z trzech pojemników. W pierwszym znajdują się kulki ponumerowane od 1 do 7. W drugim znajdują się dwie kulki: biała i niebieska, a w ostatnim pojemniku znajduje się sześć kulek, oznaczonych literami alfabetu: A, B, C, D, E, F. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania ciągu, w którym liczba jest parzysta, a litera alfabetu jest samogłoską. Wynik Rozwiązanie Zadanie 2. Rzucamy trzema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wyrzuceniu co najmniej dwóch orłów. Wynik Rozwiązanie Zadanie 3. Z tali 52 kart losujemy 3 karty. Ile możliwych ciągów kart możemy uzyskać? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy w tym samym rozdaniu jako pierwszą kartę damę pik, a jako drugą jakiekolwiek króla? Wynik Rozwiązanie Zadanie 4. Łucznik strzela trzy razy do celu. Prawdopodobieństwo, że trafi podczas pierwszego strzału wynosi 2/5. Podczas kolejnych strzałów dyspozycja strzelca jest zależna od strzału poprzedzającego. Po udanym strzale prawdopodobieństwo trafienia przy kolejnym wynosi 3/5, a po nieudanym strzale - 1/5. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na uzyskaniu dokładnie jednego trafienia. Wynik Rozwiązanie Zadanie 5. Z czterech kart: król pik, król karo, dama pik, dama karo losujemy dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu jako pierwszej karty jakiegokolwiek króla i jako drugiej karty jakiegokolwiek pika. Wynik Rozwiązanie Zadanie 6. W pierwszym rzędzie w teatrze znajduje się 10 ponumerowanych miejsc. Na ile sposobów, możemy posadzić w nim 10 ludzi? Wynik Rozwiązanie Zadanie 7. Z czterech identycznych tali kart liczących po 24 karty losujemy po jednej karcie. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania czterech dziesiątek. Wynik Rozwiązanie Zadanie 8. W puli znajdują się bile: 4 czarne, 2 niebieskie i jedna biała. Losujemy dwie bile (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wyciągnięciu jednej bili białej i jednej czarnej. Wynik Rozwiązanie Zadanie 9. Rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu czworościenną kostką przedstawia się następująco: Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu nieparzystej liczby oczek. Wynik Rozwiązanie Zadanie 10. Uzupełnij brakującą wartość w rozkładzie prawdopodobieństwa dla przestrzeni zdarzeń elementarnych, polegających na wylosowaniu jednej z liter, podanych w poniższej tabeli rozkładu prawdopodobieństwa: Wynik Rozwiązanie Zadanie 11. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia losowego wynosi 1/4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Wynik Rozwiązanie Zadanie 12. Wiedząc, że zdarzenia A i B nie mają części wspólnej oraz: Oblicz: Wynik Rozwiązanie I. Doświadczenia losowe Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą . nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów: Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki . Opisując to doświadczenie przyjmujemy: 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie to liczba wyrzuconych oczek. 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu) lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce) lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia, III. Zdarzenia Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek. Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych . Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, B - wypadła liczba oczek nie większa niż 4, B = {1,2,3,4}, C - wypadła szóstka, C = {6}. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. IV. Działania na zdarzeniach Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich. nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B"). O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się. nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B"). Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B. Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa. V. Definicja prawdopodobieństwa Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem: Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp. Model uogólniony Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą, A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz. Wtedy A' - wypadły same reszki. i 4. Dla każdego zdarzenia A: 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to: 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5. VII. Prawdopodobieństwo warunkowe Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B). Przykłady 1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)? . Można było też zastosować wzór: , , , , 2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)? Zastosujmy wzór Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: Korzystając z tego można pójść dalej itd. Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew. VIII. Prawdopodobieństwo całkowite Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają, a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Formalnie oznacza to, że czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni . Na diagramie wygląda to np. tak Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie. Widać, że: Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy: Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to Uwaga. Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni W takim razie IX. Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A. Uwaga. Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’. X. Schemat Bernoulliego Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie. Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego. Przykłady schematu prób Bernolulliego 1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła a porażka jest wypadnięcie reszki 2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne", 3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki , 4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka). Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego. Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi Przykłady 1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia: a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę, b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki, c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę. a) b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd XI. Drzewa Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. Przykład takiego (problemu) doświadczenia. Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą? W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią. Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ? Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia . Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. . No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem. Podsumujmy krótko. zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół, krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół, węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia, gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie, prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa. Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu Oznaczamy zdarzenia: A - na kostce wypadło 6 oczek, A' - na kostce nie wypadło 6 oczek, B - wyciągnięto kulę białą, B' = C - wyciągnięto kule czarną. , lub inaczej Jeszcze jeden przykład W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna? Urna przed losowaniem: Oznaczamy zdarzenia: - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. XII. Wzór Bayesa Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Typowe przykłady 1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A? Wzór Bayesa Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0. Wtedy dla każdego i mamy gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite) Np. na diagramie Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Rozwiązanie przykładu 1. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów, B1 - rzucono monetą prawidłową, B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma. gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły. - prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła. Drzewo dla tego doświadczenia Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ... Tak rozwiążemy przykład 2. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: D - urządzenie jest wadliwe, A - urządzenie kupiono od dostawcy A, B - urządzenie kupiono od dostawcy B, C - urządzenie kupiono od dostawcy C. W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo, to Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio Drzewo dla tego doświadczenia Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%). źródło:Nowa Era. MATeMAtyka 3. Podręcznik do matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych. Klasa 3. Zakres podstawowy. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska. Wydanie 2014 Reguła mnożeniaPrezentacja wyników doświadczenia za pomocą Wariacje bez Wariacje z Reguła Zdarzenia Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo klasyczne – Rozkład Własności Zagadnienia uzupełniająceZestawy powtórzeniowe – Zestaw IZestawy powtórzeniowe – Zestaw IIPrzed obowiązkową maturą z matematyki – TestPrzed obowiązkową maturą z matematyki – Zadania Reguła mnożenia ne1431 ne1432 ne1433 ne1439 ne1434 ne1435 Prezentacja wyników doświadczenia za pomocą drzewa ne1440 ne1441 ne1437 Permutacje ne1442znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1444znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1443znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1455znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1445znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1456znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1446znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1447znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1457znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1448znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1458znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1459znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1460znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1461znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 Wariacje bez powtórzeń ne1462znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1471znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1464znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1465znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1466znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1468znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1469znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1470znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 Wariacje z powtórzeniami ne1472znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1485znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1475znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1478znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1479znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1480znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1486znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1487znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1488znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 Reguła dodawania ne1525znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1509znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1503znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1476znaki dymne powiązane z zadaniem:dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1508znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1504znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1505znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1526znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1527znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1528znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1529znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 Zdarzenia losowe ne1530znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1532znaki dymne powiązane z zadaniem:działania na zbiorach, prawa de Morganaid: zd0097permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1533znaki dymne powiązane z zadaniem:działania na zbiorach, prawa de Morganaid: zd0097permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1534znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1535znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 Prawdopodobieństwo klasyczne ne1536znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136 ne1537znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1538znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1548znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1549znaki dymne powiązane z zadaniem:ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1539znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1540znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1550znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1551znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1552znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1553znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1554znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 Prawdopodobieństwo klasyczne – zadania ne1555znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1564znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1556znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1557znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1558znaki dymne powiązane z zadaniem:proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1559znaki dymne powiązane z zadaniem:proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1542znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1541znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1547znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1560znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1561znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1562znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1563znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 Rozkład prawdopodobieństwa ne1579znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1577znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1580znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1576znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1581znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 Własności prawdopodobieństwa ne1570znaki dymne powiązane z zadaniem:działania na zbiorach, prawa de Morganaid: zd0097permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1582znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1583znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1584znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1585znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1572znaki dymne powiązane z zadaniem:działania na zbiorach, prawa de Morganaid: zd0097permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1571znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1586znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1587znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1588znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1567znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1566znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1574znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1589znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1590znaki dymne powiązane z zadaniem:ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 ne1591znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137 Zagadnienia uzupełniające ne1651znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1652znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1653znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1654znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1655znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1615znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1619znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1618znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1656znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1657znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1636znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1637znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1638znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zestawy powtórzeniowe – Zestaw I ne1704znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1705znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1706znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1707znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1708znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1709znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1710znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1711znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1712znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1713znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zestawy powtórzeniowe – Zestaw II ne1714znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1715znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1716znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1717znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1718znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1719znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1720znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1721znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1722znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1723znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1724znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 ne1725znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Przed obowiązkową maturą z matematyki – Test 1-3id: ne1726znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 4-5id: ne1727znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 6-8id: ne1728znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Przed obowiązkową maturą z matematyki – Zadania Zadanie 1id: ne1729znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 2id: ne1730znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 3id: ne1731znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 4id: ne1732znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 5id: ne1733znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 6id: ne1734znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 7id: ne1735znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Zadanie 8id: ne1736znaki dymne powiązane z zadaniem:permutacja, kombinacja i obie wariacje - czyli cztery historie kombinatoryczneid: zd0136definicja prawdopodobieństwa, niezależność zdarzeńid: zd0137prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowiteid: zd0138 Wydawnictwo: Wydawnictwo Naukowe PWN Stan: UżywanaRodzaj okładki: Miękka Wymiar: Ilość stron: 203 Waga: kg Produkt niedostępny Powiadom mnie o dostępności tego produktu Uwagi: Oprawa wytarta, zarysowana,zakurzona,Rogi oprawy zagięte, Brzegi stron zakurzone, mocno zabrudzone,Adnotacje i pieczątki pobilioteczne, TIN: T01488421 Rok wydania: 1996 Rodzaj okładki: Miękka Uwagi: Brzegi stron zakurzone, Oprawa lekko wytarta, trochę zakurzona, Rogi oprawy trochę zagięte, TIN: T01809667 Rok wydania: 1996 Rodzaj okładki: Miękka

rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych